1. 同一个物体转个角度模型就不认识了先说一个很常见的观察某个三维形状分类或分子性质回归的模型训练集里的样本朝向基本固定验证集上表现还不错一旦把测试样本整体旋转三十度指标立刻掉一大截。大多数人第一反应是“数据不够加增强”于是开始堆旋转副本。但如果你把输入特征打印出来逐维看常常会发现真正的问题不是数据量而是特征本身带着坐标系的绝对信息而任务根本不关心这个信息。这就是不变量理论要处理的事情也是对称性特征工程的起点。不变量理论在数学里是一门相当老的学问研究的是“一个群作用在空间上哪些函数在群作用下保持不变”以及“这些不变函数能不能用有限个基本块拼出来”。它的工程价值在于当你把“不关心的变换”形式化成群作用之后不变量理论能告诉你三件事——该造多少个特征才够、这些特征之间有没有冗余、以及什么时候你的特征其实分不开不同的样本。对称性特征工程做的就是把这三件事翻译成代码。这篇东西适合两类人看一类是做三维视觉、分子性质预测、点云、图结构这类天然带对称性的任务正在被“换个朝向就崩”折磨的另一类是纯做表格或多模态特征想搞清楚“特征构造的完备性”到底该怎么判定的。数学部分我会尽量用工程语言讲公式只保留能直接变成代码的那些。1.1 坐标锚点是怎么悄悄混进特征里的最典型的失误是把原始坐标直接喂给一个全连接网络。对于一个点云X ∈ R^{n×3}如果直接展平成 3n 维向量模型学到的第一层权重实际上在比较“第一维数值大不大”这种毫无物理意义的东西。你把整个点云绕 z 轴转 90 度这 3n 维向量的每一维都变了模型自然崩。于是很多人退而求其次做“对齐”先算协方差矩阵做特征分解把主轴转到坐标轴上再喂网络。这个操作在工程上叫选代表元gauge fixing它不等于构造不变量。问题有两层第一特征向量的符号是任意的±v 都是单位特征向量不同实现、不同数值库、甚至同一份代码在不同硬件上都可能给出相反符号导致同一个分子在两次运行里得到镜像翻转的特征第二当协方差矩阵有两个特征值接近相等时主轴方向在数值上极不稳定一点点扰动就会让对齐结果大幅摆动。你以为是“消掉了旋转”实际上是“把旋转换成了另一种不稳定的抖动”。真正的做法是构造在群作用下数值恒等的量。距离、夹角、内积、功率谱这些都属于这一类。它们的共同特征是不依赖任何外部参考方向只依赖点与点之间的相对关系。1.2 不变量、等变、协变这三个词别用混这三个词在实际项目里经常被互换使用但对应的实现方式完全不同混淆会直接导致架构选错。概念数学表述工程含义典型实现不变量f(g·x) f(x)输入变输出纹丝不动距离矩阵、功率谱、池化聚合等变f(g·x) ρ(g)·f(x)输入怎么变输出按同样规则变群卷积、张量积层、向量神经元协变通常指等变在几何量上的特例输出的变换规则由几何类型决定向量输出层、球谐系数判据很简单如果你的最终任务是标量能量、类别、打分输出层要的是不变量如果中间层需要保留方向信息以便后续继续处理比如预测每个原子的受力向量中间层要的是等变最后再通过内积之类的操作收缩成标量。把该等变的层强行做成不变的信息会在早期就被压掉模型容量白白浪费把该不变的输出做成等变的你会得到一个随输入旋转而旋转的预测值毫无意义。2. 不变量理论的骨架轨道、不变环、有限生成要判断“我造的特征够不够”绕不开这套骨架。它不复杂但几个概念必须抠清楚。2.1 从“同一物体的不同描述”到轨道给定一个群 G 作用在空间 X 上任意一点 x 在群作用下的全部像构成它的轨道orbitG·x {g·x | g ∈ G}。同一个分子在空间中的所有朝向就是它在旋转群下的一个轨道同一个点集的所有排列顺序就是它在置换群下的一个轨道。不变量就是轨道上的常函数在同一个轨道上取同一个值在不同轨道上尽量取不同值。所有 G-不变的多项式构成一个环记作 R^G叫不变量环。这个环的结构决定了你的特征空间长什么样如果它是有限生成的你只需要算有限个基本不变量如果它不是你就得另想办法。这里有个非常实用的细节值得单独拎出来讲平移群的不变量只有常数。因为如果 f(x c) f(x) 对所有 c 成立那么 f 的梯度处处为零f 只能是常数。所以“平移不变”这件事在多项式层面是做不到的工程上的通行做法是先减去质心把数据搬到质心坐标系里。这仍然是选代表元不是不变量只不过质心这个代表元选得足够稳定只要点数大于零且权重正实践中很少出问题。但你要清楚自己在做什么减质心之后如果你再做一步“除以包围盒对角线”做尺度归一那尺度不变性也是靠选代表元实现的遇到退化构型所有点共线、所有点重合就会炸。2.2 有限生成定理为什么搜索空间能塌缩不变量环 R^G 是个可能无限维的东西但它作为环往往只需要有限个元素就能生成。这个结论对有限群和紧致群都成立是整套方法能落地的前提。它的工程翻译是你不需要穷举所有可能的不变多项式只需要找到一组基本不变量任何其他不变量都是它们的多项式组合。比如置换群 S_n 作用在 n 个变量上基本不变量就是初等对称多项式 e_1 到 e_n一共 n 个任何对称多项式都能写成它们的多项式。这意味着对于 n 个标量的无序集合用 n 个数字就能无损表达在多项式意义下而不是用 n! 种排列。反过来说这也给了一个“特征数量下界”的直觉如果你的群作用把数据压到了 d 维的轨道空间那你的不变特征至少需要 d 个数才可能分开所有轨道。少于这个数无论你怎么设计都会出现两个不同轨道映射到同一个特征向量的情况。2.3 第一与第二基本定理够用还是有多余第一基本定理说的是所有不变量都能写成基本不变量的多项式。这保证了你不会漏掉信息。第二基本定理说的是这些基本不变量之间存在哪些代数关系。这听起来很抽象但工程含义非常直接——冗余。如果基本不变量之间有代数关系那么某些特征组合是恒定的或者某些特征可以由其他特征算出来这在数值上表现为严重的共线性。举个例子对于三个点的距离矩阵三条边长 a、b、c 并不独立它们必须满足三角不等式。如果你把 (a, b, c) 直接作为三个特征输入线性模型模型会在一个弯曲的可行域上学参数泛化往往不如把它们换成两个角度加一个尺度。第二基本定理本质上就是在告诉你“可行域长什么样”。在实操里判断冗余的廉价方法是算特征矩阵的条件数或者做 SVD 看奇异值衰减。如果发现有特征值接近零的方向那就是第二基本定理在数值上跟你打招呼了。2.4 用 Hilbert 级数数一数到底有几个不变量这是我觉得最被低估的工具。Hilbert 级数把“每个次数上有多少个线性无关的不变量”编码成一个幂级数系数就是维数。对于有限群有现成的公式可以直接算Φ(t) (1/|G|) · Σ_{g∈G} 1 / det(I − t·ρ(g))其中 ρ(g) 是群元素在表示空间上的矩阵。这个式子看起来唬人实际写代码非常短import numpy as np from itertools import permutations def molien_series(group_mats, max_deg8): group_mats: list of (d, d) 表示矩阵返回各次数的维数 dims [] for k in range(max_deg 1): total 0.0 for M in group_mats: # 用 det(I - tM) 的展开这里直接对 t^k 系数求和 # 简化处理数值上取一组 t 做插值也可以 total 1.0 / np.linalg.det(np.eye(M.shape[0]) - 0.0 * M) dims.append(total) return dims def perm_rep(n, perm): 置换 perm 在 R^n 上的置换矩阵 P np.zeros((n, n)) for i, j in enumerate(perm): P[i, j] 1.0 return P n 4 mats [perm_rep(n, p) for p in permutations(range(n))] print(len(mats), 个群元素阶乘级别增长n 大了就别硬算了)真正的实现我会用符号计算把 det(I − tM) 当作 t 的多项式展开再取倒数最后按 t 的幂次累加。实际跑下来你会看到一个很漂亮的规律S_n 的不变量环的 Hilbert 级数是 1 / ∏_{i1}^{n} (1 − t^i)也就是第 k 次的不变量维数等于“用 1 到 n 的部分凑出 k 的方案数”。这意味着维数增长得很慢——n4 时1 次 1 个、2 次 2 个、3 次 3 个非常节省。这个数字的实际用途是当你打算“多加几个不变特征提升表达力”时先算一算这个次数上究竟有几个独立的不变量。如果你在 2 次多项式里硬塞了 5 个特征而理论维数只有 2那多出来的 3 个一定是前面几个的线性组合纯粹在给优化器添乱。3. 把不变量真的算出来三条工程路径理论告诉你存在工程要的是怎么算。实际项目里我常用的是三条路径各有明确的适用边界。3.1 对称化平均最直白但也最贵给定任意一个函数 f把它变成不变函数最直接的办法是对整个群取平均P f(x) (1/|G|) · Σ_{g∈G} f(g·x)这个算子叫对称化平均也叫 Reynolds 算子它是个投影作用一次和多次结果一样。代码就三行import numpy as np from itertools import permutations def symmetrize(feature_fn, n_perm): 对置换群做对称化平均 acc None count 0 for p in permutations(range(n_perm)): v feature_fn(list(p)) acc v if acc is None else acc v count 1 return acc / count # 用法任何对顺序敏感的特征平均之后就是顺序无关的 raw lambda perm: np.array([perm[0] * 2.0 perm[1]]) # 随便一个不对称的函数 print(symmetrize(raw, 4))对有限群置换、有限点群、镜像这条路非常稳而且有个额外好处它不要求你先知道基本不变量长什么样任何特征都能被它“掰正”。代价是 |G| 的复杂度S_n 是 n!n8 就已经四万多次前向n10 直接不可行。对连续群旋转积分换成了 Haar 测度上的积分一般只能蒙特卡洛采样近似。这里有个坑必须提醒采样数固定时方差不随采样数线性下降而是跟被积函数在群上的变化剧烈程度相关。如果你的特征对小角度旋转很敏感几十个采样点得到的“平均特征”本身噪声很大反而不如老老实实用解析不变量。提示对称化平均适合放在数据预处理阶段做一次把整个数据集“掰正”不适合放在训练循环里每步都算尤其是群比较大的时候。3.2 直接构造基本不变量对称多项式、距离、功率谱这是性能最好的一条路因为你直接用解析公式没有任何采样噪声。置换群的情况最简单初等对称多项式或者幂和都能用numpy里一行就能算import numpy as np def elementary_symmetric(x): 输入 n 维向量返回 n 个初等对称多项式 e_1..e_n n len(x) e np.zeros(n 1) e[0] 1.0 for i, xi in enumerate(x): for k in range(i 1, 0, -1): e[k] e[k - 1] * xi return e[1:] # e_1..e_n注意这里的输入必须是已经排好序或者本身无序的量否则你算的其实是“按位置排列的对称多项式”对输入顺序仍然敏感。旋转群的情况最常用的是成对距离和球谐功率谱。成对距离的完备性有个精确结论n 个带标签的点的完整距离矩阵在欧氏等距变换下唯一确定这组点允许反射。所以完整的距离矩阵是一组完备不变量只是它有 O(n²) 个元素冗余极大。球谐功率谱走的是另一条路先把局部环境展开成球谐系数再对磁量子数求模方得到旋转不变的功率谱p_l Σ_{m-l}^{l} |c_lm|²这个量对旋转严格不变而且对每个 l 只产出一个数从 O(n²) 压到了 O(l_max)。代价是不完备功率谱相同不代表构型相同这是它的固有缺陷不是实现问题。实际项目里我一般把距离特征和功率谱特征拼起来用前者保完备性后者保紧致性和平滑性。构造方式完备性计算复杂度可微性适用场景完整距离矩阵完备对欧氏等距O(n²) 存储在重合点处不可微小规模点云、分子排序后的距离多重集不完备存在同距异构O(n² log n)排序处不可微快速粗筛、去重球谐功率谱不完备O(n·l_max²)处处可微大规模、需要梯度初等对称多项式完备对置换O(n²)可微无序标量集合对称化平均特征取决于基函数O(G)3.3 完备性与“分不开”的判定什么时候该上 Gröbner 基有一定规模的项目会遇到这个问题你的不变特征在下游任务上表现平平你怀疑是特征分不开不同样本但又不确定。这时候可以正经判定一下。思路是这样的把两组样本的不变量向量都算出来如果两组样本属于同一个轨道那么它们的不变量向量必须完全相同反过来如果不变量向量相同但样本不同轨道那就是分离失败说明你的特征不完备。对于紧致群作用在多项式环上不变量确实能分离闭轨道——这是理论保证。但你的特征未必是“完整的不变量环”可能只是其中几个那分离失败就是必然的。真要判定可以用Gröbner 基做消元把“不变量相等”写成多项式方程组用消元判断它是否有解、解空间维数是多少。这套工具在符号计算库里都有现成实现。实践中我不会每次都跑只在两种情况下用一是发现模型在某些样本对上持续给出相同的预测怀疑特征塌缩二是设计新特征时想验证“加了这几个之后是否真的增加了分离能力”。更轻量的替代方案是做轨道距离检验对每一对样本分别枚举群作用取两组轨道之间的最小距离。如果最小距离接近零说明它们几乎在同一轨道上如果最小距离远离零但不变量特征却相同那就是特征不完备。这个检验对离散群可以直接跑对连续群用优化求解最小距离成本略高但思路清晰。3.4 数值路径核方法与随机特征当群太大、解析不变量又不够完备时还有一条中间路线不变核。定义 k(x, y) k₀(g·x, h·y) 对任意 g, h 成立那么基于这个核的模型天然具备不变性。最常见的形式是对群做平均k(x, y) (1/|G|²) Σ_{g,h} k₀(g·x, h·y)这本质上还是在做对称化平均只不过平均的是核而不是特征好处是核函数可以用 RBF 这类平滑函数数值上更稳而且不需要显式构造特征向量。代价是预测时要对每个支持向量算一遍群平均推理成本上去了。还有一条是随机特征近似用随机投影把高维不变特征压到低维靠 Johnson-Lindenstrauss 那套保证内积近似。这条路我在特征维度很高比如完整距离矩阵展开后上万维的时候用过压缩到几百维后精度损失在可接受范围内训练速度快了一个数量级。缺点是随机性带来的方差需要多种子平均来压别指望单次结果稳定复现。4. 落到模型结构上三类对称性的具体特征工程理论讲完讲讲我实际怎么把它缝进模型里。按对称性类型分做法差别挺大。4.1 置换对称池化、重心化和它们各自的隐含假设点集、邻居列表、无序分子描述符处理置换对称的标准套路是“逐元素变换 聚合”f(X) ρ( Σ_{x∈X} φ(x) )其中 φ 是逐元素的编码器ρ 是后续网络。这个结构对置换严格不变因为求和与顺序无关。聚合函数的选择比很多人想的要重要sum保留基数信息但输出量级随元素个数线性增长样本点数差异大时会带来尺度问题。mean归一化了量级但丢掉了基数。两个点和一个点如果均值相同模型分不开。max只保留每个维度上的极值信息损失最大对离群点敏感但在点云分割这类任务上意外地好用。一个常见错误是前面用了 sum 聚合后面接了一个 BatchNorm。BatchNorm 在 batch 维度上做统计意味着同一个样本的输出会依赖于同批次的其它样本。这在训练时可能还能忍推理时一旦 batch 组成变化比如最后一个不满的 batch结果就漂了。对不变特征来说这是毁灭性的因为它破坏了你辛苦构造的“输入怎么变我都不变”的承诺——现在输入不变但批次变了输出还是变。我的做法是不变特征的归一化一律用不依赖 batch 的统计量或者把归一化挪到特征构造之前、在原始数据上做并且把统计量固化成常量写进配置。还有一个隐藏很深的坑归约顺序的浮点不确定性。在 GPU 上做 scatter/gather 或者并行求和求和顺序不固定导致同一个输入两次运行的结果在 1e-6 量级上有差异。单独看无所谓但如果下游有阈值判断、去重、或者 argmax这点差异足够让结果翻转。我在一个去重流程里被这个坑过一次两个理论上完全相同的构型算出了差 1e-7 的特征向量然后被判定为不同样本导致数据集里出现重复项。解决办法是在比较前做量化比如保留 6 位小数或者用容差比较而不是直接用。4.2 连续旋转距离、球谐与局部环境描述符旋转不变特征的构造业内已经形成了相当成熟的几个套路我按使用频率排一下成对距离最基础也最容易被误用。前面说过完整距离矩阵对带标签的点集是完备的但一旦你把距离排序或者取上三角后丢掉对应关系完备性就没了。经典的“从无序两两距离重建点集”问题已知存在非唯一解。所以如果你的点是可区分的比如分子里不同元素老老实实保留带标签的完整矩阵如果点不可区分那排序后丢失的信息本来就是不可恢复的只能接受不完备。局部环境描述符是分子和材料领域的标准做法。基本思路是对每个中心原子把邻居的位置分布展开成径向部分和角向部分。径向部分统计不同距离壳层上有多少邻居角向部分统计三体夹角分布。这类描述符对旋转、平移、置换都不变而且计算复杂度是 O(n·k²)k 是邻居数非常实用。球谐功率谱更适合需要平滑性和可微性的场景。实现要点在于先把邻居相对位置转成球坐标用球谐函数在 (θ, φ) 上展开得到每个 l 的一组系数再对 m 求模方。这套东西的上手门槛主要在于球谐函数的数值实现——自己写容易在极点附近出数值问题建议直接用成熟库。注意球谐功率谱对反射也是不变的因为取模方抹掉了符号信息这在分子手性任务是致命的。如果你要区分手性对映体必须额外引入手性敏感的量比如三阶标量三重积单靠功率谱永远分不开。4.3 等变网络让中间层跟着转输出层才不动不变量特征工程的另一个极端是等变网络。核心思想是不把不变性压到输入侧而是让每一层都保持等变直到最后一层才收缩成标量。技术上等变层的作用是把不同类型的几何量标量、向量、二阶张量按群的表示论规则组合起来组合系数由 Clebsch-Gordan 系数给出。用起来的感觉是输入一批向量特征输出一批新的向量特征整个过程中特征的方向语义保持一致。什么时候该用它什么时候该用不变特征我的判断标准是情况推荐方案理由任务输出是标量且数据量中等不变特征 普通网络实现简单调试成本低任务输出是标量但数据量大、精度要求高等变网络参数量少、样本效率高任务输出是向量/张量力、位移、流场等变网络不变特征无法给出方向需要解释性、需要人工检查特征不变特征每个维度有明确物理含义手性相关任务等变网络 手性不变量纯不变特征容易丢失手性等变网络的代价是工程复杂度高、调试困难。我见过不少项目在这个方向上投入了大量时间最后发现任务本身对方向根本不敏感用距离特征加一个普通 MLP 就能达到同样效果。先确认方向信息对任务有用再上等变。4.4 数据增强与硬约束两者不是替代关系很多人把数据增强当成不变性约束的廉价替代。这个理解有偏差。数据增强是隐式的正则化它让模型在训练分布上见到变换后的样本从而倾向于学到不变的模式但它不提供任何保证。模型的假设空间里仍然存在非不变的解只是这些解的损失更高。而硬约束不变量特征、等变结构是把非不变的解从假设空间里直接删掉这是本质区别。连续群的增强尤其尴尬你没法穷举所有旋转角度只能采样有限个。采样太稀模型在没见过的角度上仍然会崩采样太密训练成本爆炸。有个经验规律当群的有效维度越高比如 SO(3) 是三维的增强的边际收益衰减得越快。二维旋转绕单轴用 36 个角度覆盖还算可行三维旋转用几千个采样点都未必够。我的组合策略通常是用不变量特征做骨架用增强补平滑性。骨架保证大方向不会错增强让模型在特征空间里对小的数值扰动更鲁棒。纯靠增强省事的项目我还没见过在分布外旋转上表现好的。5. 踩坑实录几个把不变性做没了的瞬间这一节是这篇东西里我最想写的部分因为下面每一个坑我都真踩过而且每个坑的共同特点是“代码跑得通、指标看着还行、但不变性已经没了”。5.1 归一化写在不变特征之后这是最常见的一个。流程是算距离特征 → 除以最大值归一化 → 送进网络。看起来没问题但当输入被旋转时距离特征理论上完全不变归一化因子也不变结果应该一样。问题出在归一化因子如果在批次上算同一个样本和不同样本组队归一化因子不同输出就不同。更隐蔽的是按维度归一化你对特征矩阵的每一列算均值和方差。如果这一列的物理含义是“某个距离尺度”它的统计量应该只依赖于数据集整体而不应该依赖于当前样本。但如果你在单个样本内部算比如对每个样本的所有距离特征做标准化那你实际上是在做一种非线性的重加权它对置换仍然不变但对“距离多重集”的排序是敏感的可能破坏完备性。我的处理原则很简单所有归一化统计量在训练集上算一次固化成常量推理时原样使用。这样至少保证同一个输入在任何批次、任何阶段得到完全相同的特征。5.2 邻居选择里的顺序陷阱做局部环境描述符时第一步通常是找 k 个最近邻。这里有两个顺序陷阱。第一如果你按距离排序取前 k 个那么“距离相同的两个邻居谁排前面”是不确定的。在对称构型比如正八面体里这种情况很常见。取决于实现可能拿到不同的邻居集合导致特征跳变。解决办法是用距离阈值而非固定 k或者对同距离的邻居做全排列平均。第二k 近邻的搜索在大规模数据上会用近似算法比如基于空间划分的不同库、不同版本的返回顺序可能不同。如果你的特征对邻居顺序敏感比如用了序列模型处理邻居那结果跟着变。我一般会强制按距离做一次稳定排序并且在距离相同时用坐标或者元素序号做次级排序键。5.3 完备但不不可微可微但不完备这是个必须做的取舍而且没有普适答案。排序、取最大值、最近邻查询这些操作都是分段常值或者分段线性的几乎处处梯度为零。如果你的不变量特征里包含排序那么反向传播到这些位置时梯度是断的。对于端到端训练来说这意味着前面那些可学习模块得不到有效的梯度信号。反过来功率谱、对称多项式、距离的连续函数都可微但完备性有损失。我的经验是分层处理底层用可微的、略不完备的特征保证梯度通畅顶层用不可微但完备的特征做兜底校验。比如训练时用功率谱特征同时用一个离线流程算完整距离矩阵定期检查两者给出的邻居排序是否一致。如果一致说明不完备没有造成实际的信息损失如果不一致就得看看是哪些构型出问题了。5.4 用单元测试把对称性钉死这是我最推荐的习惯成本极低收益极高。写几个断言把“不变性”这件事从口头承诺变成可执行的检查import numpy as np def rotation_z(theta): c, s np.cos(theta), np.sin(theta) return np.array([[c, -s, 0.0], [s, c, 0.0], [0.0, 0.0, 1.0]]) def feature_fn(X): # 你的不变特征函数 D np.linalg.norm(X[:, None, :] - X[None, :, :], axis-1) iu np.triu_indices(len(X), k1) return np.sort(D[iu]) # 排序消除点序影响 def test_rotation_invariance(): rng np.random.default_rng(0) X rng.normal(size(12, 3)) f0 feature_fn(X) for theta in [0.1, 0.7, 1.9, 3.0, 5.5]: Xr X rotation_z(theta).T f1 feature_fn(Xr) assert np.allclose(f0, f1, atol1e-9), f旋转 {theta} 后特征不一致 def test_permutation_invariance(): rng np.random.default_rng(1) X rng.normal(size(9, 3)) f0 feature_fn(X) for _ in range(20): Xp X[rng.permutation(len(X))] assert np.allclose(f0, feature_fn(Xp), atol1e-9)运行这两个测试我至少抓到过三类问题一是某个中间步骤用了原始坐标做判断比如“取 x 最大的点作为起点”二是某个库的默认参数做了隐式的中心化三是浮点误差累积导致容差设得太紧。容差设 1e-9 是个比较合适的起点如果你的特征里有多次求逆或者特征分解可能要放宽到 1e-6但要盯住不能到 1e-3那说明数值稳定性已经出问题了。6. 什么时候该绕开不变量这套思路最后说点反向的话。不变量理论很漂亮但不是所有带对称性的任务都值得走这条路。如果你数据量极大、对称群很小比如只有镜像翻转或者循环移位那直接堆数据增强、把网络容量做上去可能比精心构造特征更省时间。特征工程的收益在数据稀缺和群结构复杂这两个条件同时成立时才最明显。如果你任务的目标本身就跟参考系有关比如“判断这个零件的安装面朝上还是朝下”那强行做成不变特征反而把有用信息抹掉了。这种情况下需要的是部分不变对平面内的旋转不变但对上下方向敏感。实现上就是把群拆成子群只对关心的一侧做平均。如果对称性只能近似成立比如真实的分子在溶液里总是有微小形变那严格的不变量约束会把有用信号当噪声滤掉。我一般会先用严格不变量做特征再额外拼上几个对形变敏感的量让模型自己权衡。我实际做下来最大的体会是不变量理论的价值不在于给你一套现成公式而在于给你一套判断标准。它让你能回答“我造的特征够不够”“多了会不会共线”“什么时候分不开”这些原本只能靠试错的问题。至于具体用距离、用球谐还是用等变网络那是工程取舍会随着数据规模、算力预算和调试成本变化但判定标准是稳定的。先把判定标准建立起来剩下的就是按需选型。