简介一份Q-Learning算法在MATLAB中的完整实现与逐行注释文档面向强化学习初学者、算法爱好者及课程实验者。文档以王子寻找公主的16格网格世界为案例细致讲解了可移动矩阵TT、奖赏矩阵R的构建思路并给出Q矩阵初始化、折扣因子gamma与epsilon-greedy策略如何设置包含900轮训练循环、训练进度输出以及基于学到的Q矩阵反向规划最优路径的完整MATLAB代码。通过障碍物、陷阱与终点奖励的设定直观展示无模型环境下智能体如何通过试错更新Q值、权衡探索与利用。资源为单个doc文档体积仅33KB便于阅读与对照运行。已有1379人学习下载适合边读注释边动手调试快速掌握Q-learning核心步骤。1. 需求与方案16 格网格世界里的 Q-Learning 王子寻公主Q-Learning 是强化学习里最经典的入门算法但网上能直接拿到、还带逐行注释的 MATLAB 实现反而不多。这段源码把“王子找公主”的场景压缩进了一个 4x4 的网格世界一共 16 个格子王子可以做上、下、左、右四个动作某些格子是走不过去的障碍物某个格子是扣分陷阱目标是从任意起点到达第 16 格公主身边。算法用一张 Q 矩阵记录“每个状态下每个动作值多少分”经过 900 次回合训练后只需要沿着 Q 值最大的方向走就能得到一条可行路径。这篇方案会把环境建模、训练循环、路径推断和验收技巧拆开讲重点标出这段源码里最容易踩坑的几个地方适合拿来改造成课程设计或者强化学习入门实验。2. 环境建模与奖励机制可移动矩阵 T 的四个方向构造与 R 值陷阱先明确一件事Q-Learning 被称为无模型算法指的是它不需要环境的状态转移概率但并不是说不需要定义环境本身。这段 MATLAB 代码把环境全部编码进了两个矩阵可移动矩阵 T 和奖赏矩阵 R。T 决定了王子能从哪个状态走到哪个状态R 决定了每一步转移能拿到多少奖励。许多同学第一次做强化学习实验时跳过这一步直接写训练循环最后出了问题根本分不清是环境设计错了还是 Q 值更新公式写错了。正确的做法是先手动模拟一步转移给定当前状态 s枚举合法动作算即时奖励再走一步确认环境没有矛盾再让算法去学。2.1 状态编号与可移动矩阵 T 的构造逻辑这段代码的编号方式是理解整个环境的关键我建议在答辩时直接画出这张编号图。16 个格子按 4x4 排列但编号不是常见的行优先而是列优先第一行1 5 9 13第二行2 6 10 14第三行3 7 11 15第四行4 8 12 16也就是说同一列上下两个格子的编号相差 1同一行左右两个格子编号相差 4。向上走是编号减 1向下走是编号加 1向左走是编号减 4向右走是编号加 4。如果把这个编号方式理解成行优先四个方向的边界条件就会全部错位。T zeros(16); % T(i,j)0 表示不可从 i 移动到 j1 为可移动 for i 1:16 % 上行动作 N编号减 1排除每列首行的 1,5,9,13 if ~ismember(i, [1,5,9,13]) T(i, i-1) 1; end % 下行动作 S编号加 1排除每列末行的 4,8,12,16 if ~ismember(i, [4,8,12,16]) T(i, i1) 1; end % 左行动作 W编号减 4只在编号大于 4 时可行 if i 4 T(i, i-4) 1; end % 右行动作 E编号加 4只在编号小于 13 时可行 if i 13 T(i, i4) 1; end end上行动作排除 1、5、9、13因为这四个编号是每一列的第一行再减 1 就越界到上一列或者变成 0。下行动作排除 4、8、12、16这是每一列的末行。左行动作要求编号大于 4右行动作要求编号小于 13这样不会跨出网格边界。这种写法比用 mod 函数判断边界更直观也是这段代码值得保留的地方。2.2 障碍物剔除与跳跃规则T 矩阵的列清零细节网格世界里不允许出现“走进障碍物”的转移对应的做法是把障碍物编号作为目标状态的动作全部清零也就是清列不清行。% 障碍物状态 10、11、14 不可作为目标状态 T(:, [10,11,14]) 0; % 定义跳跃状态 13 清空原有动作后只保留到状态 15 的传送门 T(13, :) 0; T(13, 15) 1;第一行T(:,[10,11,14])0会把所有“以 10、11、14 为目标”的动作置为不可达。注意这里清的是列不是行。意思是王子可以从任意位置出发但就是不能到达这几个障碍格子。T(13,:)0则把状态 13 的所有出边清空然后单独设置T(13,15)1让 13 只能单向跳到 15。这里有一个非常容易翻车的设计点T(13,:)0会连同 13 到 9、13 到 12 这两个合法出边一起删掉。如果只是想禁止进入障碍 14更精确的写法是T(13,14)0保留 13 向上的 9 和向左的 12。原代码之所以直接用整行清零可能是故意把 13 设计成一个单向传送点后面的奖赏矩阵里也给了R(13,15)5的正奖励。如果你的场景不需要传送门建议改成列清零否则训练出来的路径在状态 13 附近会出现“只能跳过去”的奇怪现象答辩时被问住就很被动。2.3 奖赏矩阵 R 的取值与设计意图奖赏矩阵 R 的大小同样是 16×16R(state, action) 表示从 state 转移到 action 这个动作获得的即时奖励。这里 action 直接用目标状态编号表示所以 R 和 T 的行列含义一致。R -1 * ones(16); % 默认每走一步扣 1 分鼓励最短路径 R(:, 6) 0; % 进入状态 6 不扣分 R(:, 7) -5; % 进入状态 7 陷阱扣 5 分 R(:, 16) 10; % 到达公主所在状态 16 得 10 分 R(13, 15) 5; % 从状态 13 跳到 15 得 5 分默认值 -1 意味着所有没有被特殊指定的转移都要付出代价这是一种非常朴素但有效的“最短路径”引导走的路越多累积扣分越多。状态 6 设置为 0相当于一个中立安全区状态 7 是陷阱进入即 -5状态 16 是目标获得 10。R(13,15)5和前面的跳跃规则对应给传送门一个单独奖励。一个值得注意的地方是目标奖励放在“进入 16 的动作”上而不是放在“状态 16 本身”上。Q-Learning 更新的是状态-动作对的价值动作的即时奖励来自转移之后的结果所以R(:,16)10这种写法是正确的。如果把奖励放在状态编号上写成R(16,:)10那么从 16 出发的动作才会拿到 10而训练循环在到达 16 后立即结束这个奖励永远学不到算法就会认为公主那里没有价值。关于折扣因子gamma0.8 意味着未来奖励每往后一步打八折。在只有 4x4 的网格里这个值足够让算法兼顾“眼前收益”和“长远目标”。如果 gamma 太接近 1Q 值收敛会变慢如果太小比如 0.5王子可能更愿意选择即时奖励高但离终点更远的路线。epsilon0.3 是探索率表示每一步有 30% 的概率随机挑选合法动作70% 的概率选择当前 Q 值最大的动作。原注释里写“策略选择概率也就是学习率”这里其实是个概念混淆epsilon 是探索率不是学习率真正的学习率应该出现在 Q 值更新公式里后文会专门说这个问题。3. 训练循环与策略更新epsilon-greedy 如何从试探到会走路环境定义好之后接下来就是 Q-Learning 的核心训练循环。这一段源码的流程非常清晰每个 episode 从随机起点出发不断选动作、执行转移、更新 Q 值直到到达状态 16。理解这段训练代码的关键是区分两个阶段动作选择阶段决定“走哪一步”Q 值更新阶段决定“这一步学到的经验如何写回价值表”。两者在同一个循环里交替发生但职责完全不同。3.1 训练循环主体结构与终止条件先看训练循环的整体结构for episode 1:900 % 随机初始化起点并排除障碍物状态 state unidrnd(16); while ismember(state, [10,11,14]) state unidrnd(16); end % 一个 episode 持续到到达目标状态 16 while state ~ 16 possible_actions find(T(state,:) 1); possible_Q Q(state, possible_actions); if rand() epsilon choose unidrnd(length(possible_actions)); action possible_actions(choose); else [~, index] max(possible_Q); action possible_actions(index); end % 贝尔曼更新 Q(state, action) R(state, action) gamma * max(Q(action,:)); % 转移到下一个状态 state action; end if mod(episode, 100) 0 disp(-------------------) fprintf(训练的次数为:%d\n, episode) end end disp(训练结束)外层循环控制训练回合数900 次是读者可以自行调整的参数。内层循环是一个完整 episode从初始状态出发不断执行动作直到state 16。注意终点状态 16 没有继续展开动作因为 Q 更新的目标是当前状态选择的动作到达终点后整个 episode 结束不需要更新“从 16 出发”的动作价值。起点排除障碍物状态[10,11,14]是一个必要的保护。如果不排除可能让训练从不可达状态开始导致 Q 矩阵某些行被反复写入无意义的值。unidrnd(16)是 MATLAB 自带的离散均匀随机整数函数返回 1 到 16 之间的整数用法上等同于自己写randi(16)。这里我建议加一个最大步数限制比如step 0; while state ~ 16 step 200。理由很简单在训练初期Q 矩阵全为 0epsilon0.3 的随机探索很容易让王子陷入环圈万一某个状态的动作选择总是反复横跳内层循环会变成死循环。原始代码能跑通是因为 900 次训练足够让 Q 值逐渐修正但如果你把 epsilon 调大、把 gamma 调得接近 1死循环的概率会明显上升。加上步数限制之后即使一回合没走到终点也能结束本轮继续训练不打断整个流程。3.2 epsilon-greedy 动作选择探索与利用的权衡动作选择是 Q-Learning 里最容易写错的部分也是答辩时一定会被问到的地方。原代码用rand() epsilon作为随机条件当随机数小于 0.3 时从合法动作里均匀随机选一个否则在合法动作中选 Q 值最大的那个。possible_actions find(T(state,:) 1); possible_Q Q(state, possible_actions); if rand() epsilon choose unidrnd(length(possible_actions)); action possible_actions(choose); else [~, index] max(possible_Q); action possible_actions(index); end注意这里非常关键的一点possible_actions是从 T 矩阵当前行里挑出的所有合法动作possible_Q是这些合法动作对应的 Q 值。利用阶段只在合法动作里找最大值不会选中障碍物。随机探索阶段同样只在合法动作列表里随机选不会产生非法转移。这套过滤逻辑给后续 Q 值更新提供了安全前提。epsilon0.3 是一个比较常见的经验值。如果 epsilon 太大王子大部分时间在乱走Q 矩阵更新会受到大量无效样本干扰如果 epsilon 太小算法过早进入“只用当前 Q 值最大动作”的状态可能在统计意义上不够充分。900 个 episode 对 16 个状态来说并不多0.3 的探索率可以保证每个状态-动作对都被访问到足够多次。这里还隐藏着一个细节unidrnd(length(possible_actions))返回的是 1 到 N 之间的随机索引用它去 possible_actions 里取具体动作。很多初学者会直接把随机数当作动作编号比如写出action unidrnd(16)那就可能选中被 T 屏蔽的障碍物。正确的做法是先取合法动作列表再随机索引这段原代码的做法值得保留。3.3 Q 值更新公式为什么贝尔曼方程长这样每次执行一个动作后代码立刻更新 Q 值Q(state, action) R(state, action) gamma * max(Q(action,:));这个公式是标准 Q-Learning 更新式的简化版本。完整写法通常带一个学习率 alphaQ(s,a) ← Q(s,a) α [ R(s,a) γ max Q(s,a) - Q(s,a) ]当 α1 时完整公式就变成Q(s,a) R(s,a) γ max Q(s,a)也就是原代码的写法。它把旧估计值完全抛弃直接用当前的即时奖励加上下一个状态的最大折扣价值去覆盖。这个更新逻辑的含义是状态 s 下选择动作 a 的价值等于这一步能拿到的即时奖励加上从下一个状态出发能获得的所有动作价值里最大的那个再乘以折扣因子。为什么是“下一个状态的最大值”因为 Q-Learning 是离策略算法它评估的是“假设从下一个状态开始执行最优策略”可以获得的价值。它不需要知道环境转移概率只需要在到达下一个状态后查一下这一行的 Q 值最大值即可。这个特性让 Q-Learning 可以无模型运行。原代码没有 alpha 参数这在奖励完全确定、状态数量很小的场景下是可以收敛的因为每个状态-动作对被反复访问覆盖更新的极限仍然是正确的动作价值。但代价是收敛过程会有明显震荡某一次采样得到的奖励会直接把旧值顶掉下一个 episode 可能又被另一个采样顶回来。如果你准备把这个实验扩展成更复杂的场景或者想让收敛曲线更平滑就应该引入一个 0.1 到 0.5 之间的学习率 alpha。这部分作为优化项放在验收演示里效果会比直接交原代码好很多。3.4 训练监控与收敛观察原代码在每 100 个 episode 输出一次“训练的次数为”实际上对判断是否收敛帮助不大。它只告诉你训练进行到了第几轮没有告诉你 Q 矩阵是否还在剧烈变化也没有告诉你王子找到公主平均需要多少步。如果要交一份能说明“算法真的学到了”的方案最简单的方法是记录每个 episode 结束时的累计步数或者记录 Q 矩阵相邻两次更新的最大变化量。prev_Q Q; Q(state, action) R(state, action) gamma * max(Q(action,:)); delta max(abs(Q - prev_Q), [], all);上面这段是监控 Q 变化量的思路。把每个 episode 的平均步数和 delta 画成两条曲线就能直观看到前 100 个回合步数很长、delta 很大之后步数逐渐下降并稳定delta 收敛到接近 0。这个趋势是你答辩时最有力的证据比单纯打印“训练结束”更能说明问题。原代码的监控逻辑不算错但可以在此基础上扩展这正是把一份课后练习改造成完整方案最容易加分的地方。4. 路径推断与实验验证从 Q 矩阵反推王子路线训练结束后Q 矩阵里已经保存了每个状态-动作对的长期价值。接下来的任务是根据 Q 矩阵生成一条从指定起点到状态 16 的路径。这个过程不需要再更新 Q 值只需要做贪心决策每到一个状态选择当前 Q 值最大的合法动作然后走到下一个状态。路径推断代码很短但里面藏着一个非常隐蔽的逻辑问题很多人在复现时都在这条路上翻过车。4.1 路径推断的朴素实现原代码给出的路径推断逻辑如下start_0 1; % 设置起始点这里是状态 1 path start_0; % 路径向量以起点开始 while path(end) ~ 16 [~, next] max(Q(start_0,:)); % 选择 Q 值最大的动作 path [path, next]; % 把动作追加到路径 start_0 next; % 移动到下一个状态 end path这段代码的思路是对的从起点开始反复查询当前状态这一行里 Q 值最大的列编号然后将其追加到路径末尾直到路径终点是 16。max函数的第一个返回值是最大值第二个返回值是最大值所在的位置MATLAB 中[~, next]表示忽略第一个返回值只取索引。path [path, next]是向量拼接类似于 Python 列表的 append。在训练收敛之后Q 矩阵会形成一个从任意状态指向最终目标的“价值梯度”贪心决策就能沿着梯度一路走到终点。因为第 16 个状态在训练循环里不会被更新出边所以路径到达 16 后max(Q(16,:))不会被调用循环自然停止。4.2 一次典型路径与结果解读用原始参数跑完 900 个 episode 后从状态 1 出发的路径可能是1 5 6 2 3 4 8 12 16也可能是更短的1 2 3 4 8 12 16具体取决于随机种子。路径无论如何都会避开 7 号陷阱和 10、11、14 三个障碍物。如果路径经过了状态 6说明算法认为绕到 6 拿 0 奖励比直接走普通格子拿 -1 更划算即使多走了一步在折扣因子 0.8 下仍然可能被接受。从数值上看路径越长累积的 -1 奖励越多Q 值越小。目标奖励 10 只出现在最后一步“进入 16”的动作上所以路径价值主要由“步数惩罚”和“终点奖励”共同决定。这也是为什么默认 R 值都设置为负数的原因它想让王子在有限步内到达公主而不是在网格里闲逛。如果你发现路径没有避开某个障碍物或者出现了跳变到奇怪格子的情况不用急着怀疑训练代码首先检查路径推断代码是否对动作做了合法过滤。下面的 4.3 节就是最常见的坑。4.3 路径推断的隐藏问题没有过滤不可达动作原代码最明显的问题是max(Q(start_0,:))把 Q 矩阵整行都纳入了比较包括那些 T 矩阵明确标记为不可达的动作。由于不可达动作从未被训练更新它的 Q 值永远停留在初始值 0。如果某个状态所有合法动作的 Q 值都是负数那么max会选中一个 Q 值为 0 的不可达动作路径就会“走入障碍物”。举例来说假设状态 1 的合法动作是 2 和 5训练后 Q(1,2) 和 Q(1,5) 都是负数而 Q(1,10) 仍然是 0那么max(Q(1,:))会返回 10。王子就直接跳到障碍物 10 上。虽然 10 仍然有出边可以继续走但这条路径明显违反环境规则在演示环节会被一眼看穿。修复方式很简单路径推断同样要使用find(T(s,:)1)过滤合法动作。start_0 1; path start_0; while path(end) ~ 16 s path(end); legal_actions find(T(s, :) 1); % 只允许合法动作 [~, idx] max(Q(s, legal_actions)); next legal_actions(idx); path [path, next]; end path修改后的代码先取出当前状态的合法动作列表再在这个列表范围内找 Q 值最大的动作。这样路径推断就和训练阶段的动作选择逻辑保持一致不会再选中障碍物。这是一个非常值得写进实验报告的修复点因为很多网上的 Q-Learning 示例在训练部分用possible_actions过滤却在路径推断时忘记过滤导致结果不稳定。你在验收时一定要把这一点讲出来说明你真正理解了这个算法。4.4 Q 矩阵策略的复用与限制训练好的 Q 矩阵可以看作一张策略查找表给任意起点只需要重复贪心查询就能得到一条路径。这是 Q-Learning 相比动态规划的优势之一不需要重新计算直接查表即可。但它也有一个明显限制当两个动作的 Q 值相等时max函数会默认选择索引较小的那个这会让它偏向编号小的格子可能掩盖掉同样优秀的其他路线。如果你希望展示多解需要在选择动作时加随机打破平局的逻辑比如在最大值集合里随机选一个。这个细节不会影响主流程但能体现你对算法行为边界的理解。5. 常见问题与避坑不收敛、死循环和奖励尺度这一段专门讲复现和扩展这段代码时最容易翻车的五个问题。每个问题都会按“现象、原因、解决”的顺序拆开你在课程设计报告里可以直接改写成调试日志答辩时如果被问到“你遇到过什么问题”这些素材足够撑起一段有说服力的回答。5.1 现象Q 值震荡训练后路径仍然不稳定现象修改 epsilon 或 gamma 后同样的代码有时能跑到终点有时在某个格子里反复横跳Q 矩阵直到 900 个 episode 结束也没有稳定下来。原因原代码的 Q 值更新是 α1 的覆盖更新没有任何平滑机制。每一步的新估计值直接覆盖旧值等价于相信最近一次采样是完全准确的。在小网格、无随机奖励的环境里可以收敛但一旦奖励有噪声或者某个状态-动作对访问次数不均衡Q 值就会剧烈波动。另一个常见原因是在训练过程中手动把 epsilon 调得很大比如 0.9导致大部分时间都在随机试探有效利用经验的次数太少。解决引入学习率 α把更新公式改成Q(s,a)Q(s,a)α*(R(s,a)γ*max(Q(s,a))-Q(s,a))一般取 0.1 到 0.5。α 控制新旧信息的融合程度让 Q 值平滑下降而不是被单次采样顶飞。同时可以把 epsilon 做成衰减策略比如每 50 个 episode 乘以 0.95前期多探索后期多利用收敛效果会明显改善。5.2 现象路径推断时走进障碍物或进入死循环现象训练本身没有报错但从起点生成路径时输出的 path 出现了 10、11、14 这些障碍物编号或者程序长时间不结束像是走进了环。原因路径推断用了max(Q(start_0,:))没有像训练阶段那样用find(T(s,:)1)过滤合法动作。不可达动作对应的 Q 值始终保持初始值 0只要合法动作的 Q 值小于 0max就会选中不可达动作导致路径非法。如果从非法状态继续走还可能在不同状态之间反复循环。解决路径推断的代码要和训练阶段保持一致先取legal_actions find(T(s,:)1)再在Q(s, legal_actions)里找最大值。修改后路径的每一步都在环境允许的动作范围内。另外一个保险手段是加最大路径长度限制比如超过 50 步就终止并输出警告方便定位问题。5.3 现象初始状态随机到障碍物现象训练刚开始时报错或者 Q 矩阵某些行一直为 0路径在这些行附近表现异常。原因unidrnd(16)均匀随机产生 1 到 16 的整数其中 10、11、14 是障碍物。如果直接把这些状态作为训练起点王子可能从无法通过的位置开始环境逻辑不自洽。原代码用while ismember(state,[10,11,14])主动规避了这个问题但如果你修改了障碍物编号或者复制代码时漏掉了这几行就会复现这个错误。解决把障碍物状态定义成常量比如obstacles [10,11,14]在初始化起点和路径起点时都做检查。路径推断的起点也不能是障碍物否则即使 Q 矩阵正确也生成不了合法路线。更稳妥的做法是从所有非障碍状态里随机选起点使用setdiff(1:16, obstacles)去掉非法状态再从中随机抽取。5.4 现象把 epsilon 当作学习率修改训练结果不如预期现象有同学看到注释里写着“策略选择概率也就是学习率”于是把 epsilon 从 0.3 改成 0.9以为能让算法学得更快结果训练曲线反而变差甚至无法稳定到达终点。原因epsilon 是探索率不是学习率。探索率控制的是动作选择的随机程度学习率控制的是 Q 值更新的步幅。把 epsilon 调大意味着每一步有 90% 概率随机乱走训练样本的有效性大幅降低而 Q 值更新仍然没有平滑机制整体收敛自然更差。解决在报告里明确两个参数的分工epsilon 属于策略选择alpha 属于价值更新。如果想让算法学得更保守降低 epsilon比如 0.1如果想让 Q 值更平滑引入 alpha比如 0.2。修改后再观察路径是否变稳定你就会发现之前把两个概念混在一起是问题根源。5.5 现象T 矩阵整行清零导致合法动作丢失现象设置了障碍物后状态 13 明明还有向上的 9 和向左的 12 两个合法转移但训练出来的路径在 13 附近总是绕远路或者只能依赖跳到 15 的传送门。原因T(13,:)0把状态 13 的所有出边全部清空然后再恢复T(13,15)1。这不是“只删除 13 到 14 的动作”而是把 13 变成了一个单向传送点。如果场景设计并不需要传送门那么 9 和 12 这两个合法连接就被误杀了。解决如果只是想禁止进入障碍物 14应该写T(13,14)0或者通过列清零已经覆盖了T(13,14)不需要整行操作。只有确实想做“跳跃”时才用T(13,:)0; T(13,15)1;。在代码注释里注明这里是单向传送门而不是简单的障碍处理这样后续维护时不会有人误改。6. 验收与答辩用三张图和两个提问证明算法真的有效课程设计交上去不能只扔一段能跑通的代码。你需要用可量化的结果证明训练过程收敛了、路径合法了、参数选择有依据。我的建议是准备三张图第一个是每个 episode 到达终点的步数曲线第二个是 Q 矩阵相邻两次更新的最大变化量曲线第三个是画在 4x4 网格上的最终路径图。步数曲线逐渐下降并趋于稳定说明王子找公主越来越熟练Q 值变化量趋近 0说明价值表收敛路径图避开障碍物和陷阱说明策略合法。这三张图放在实验报告里比任何文字描述都有说服力。答辩时有两个问题几乎必问第一“Q 矩阵为什么能收敛”你要回答贝尔曼更新是在逐步逼近动作价值函数的不动点因为每次更新都在用真实奖励和下一步的估计价值修正当前估计误差会逐轮缩小。第二“epsilon 改成 0 会怎样”如果一开始就设 0Q 矩阵全 0 时王子只会选择索引最小的合法动作永远不会探索其他路线也就学不到障碍和陷阱的惩罚。这说明探索率在训练初期是不可或缺的。如果能把这两个问题回答清楚整个算法的核心就算过关了。演示环节有一个实用技巧先从一个固定起点跑路径展示一条合法路线再从所有非障碍状态随机抽几个起点批量跑统计成功率最后展示加 alpha 和不加 alpha 的收敛曲线对比。这一套操作下来方案就从“跑通了”变成了“验证过了”。从那以后我每次做强化学习实验都会强制自己先跑一遍随机策略确认环境没写错再交给 Q-Learning 学习路径推断时也一定先过滤合法动作。这个习惯帮我避开了很多隐蔽的坑。希望这篇 Q-Learning 的 MATLAB 实现解析能帮你把课程设计做得更完整也能在验收时讲清楚每一步到底在做什么。本文还有配套的精品资源点击获取